Открытые проблемы математической теории систем

 А.А.Давыдов

Открытые проблемы математической теории систем

Ключевые слова: системная социология, математическая теория систем

Введение

Поводом к написанию данного сообщения явились выступления участников  секции №13 «Математическое образование социологов» ( http://www.ssa-rss.ru/index.php?page_id=178&section=21&alfavit=*) Всероссийской социологической конференции «Образование и общество» (20-22 октября 2009 года, Москва). Выступления участников показали, что с математической подготовкой российских социологов не все благополучно, в частности, в области доказательства математических теорем в рамках математической теории социальных систем. В целом, наблюдается безнадежное отставание российской социологии от «переднего края» науки в области математической теории систем.  В этой связи напомним, что математическая теория систем [1] - часть современной математики, которая выступает методологическим базисом математической теории социальных систем. Так, например, в системной социологии [2-3], в рамках  математической теории социальных систем, давно,  широко и успешно используют частные теории математической теории систем, а именно, Complex Adaptive Systems, Multiagent Systems, Complex Networks, Synergetics, Self-organized criticality, Cellular Automata, Chaos, Fractals, Wavelets и т.д. Математическая теория систем, в частности, математическая теория социальных систем, активно взаимодействуют с математической экономикой, математической психологией, математической лингвистикой и другими математическими дисциплинами.

Цель данного сообщения - привлечение внимания российских социологов к  решению открытых (нерешенных) проблем математической теории систем, которые являются «передним краем» науки в математической методологической парадигме системной социологии [3]. В этой связи напомним, что традиция формулировки открытых проблем и концентрация международных усилий математиков на их решении, берет свое начало с доклада известного математика Д.Гильберта [4] на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году, который в своем докладе сформулировал 23 открытые математические проблемы. Как правило, сформулированные Д.Гильбертом открытые проблемы математики, представляли собой утверждения, имеющие фундаментальное значение для математики, на которые нужно было дать однозначный ответ «Да или Нет». Сформулированные Д.Гильбертом открытые проблемы сконцентрировали международные усилия математиков на их решении и в значительной мере определили развитие математики в XX веке. На данный момент времени решены 16 проблем из 23, сформулированных Д.Гильбертом. В этой связи напомним, что решение открытой математической проблемы – это математическое доказательство соответствующей теоремы. В последние годы для доказательства математических теорем активно используются [5] компьютерные системы Automated theorem provers (автоматическое доказательство теорем) на основе Supercomputing.

Традиция выдвижения открытых проблем математики и концентрация международных усилий математиков на их решении, сохраняется и в настоящее время. Сформулированы 16 открытых проблем математики (http://mathworld.wolfram.com/UnsolvedProblems.html). В 2000 году сотрудники Clay Mathematics Institute ( http://en.wikipedia.org/wiki/Millennium_Prize_Problems ) сформулировали 7 The Millennium Prize Problems, за решение каждой из них назначена премия в 1 млн. долларов США. Это следующие открытые проблемы математики: P versus NP; The Hodge conjecture; The Poincaré conjecture; The Riemann hypothesis; Yang–Mills existence and mass gap; Navier–Stokes existence and smoothness; The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. В 2003 году российский математик Григорий Перельман решил The Poincaré conjecture.

Понимая, что подавляющее большинство российских социологов не имеют специального математического образования, недостаточно знакомы с методологическими принципами математической методологической парадигмы в системной социологии [3], пока не изучают математические дисциплины, на которых базируется математическая теория систем, в частности, теорию динамических систем, топологию, неевклидовые геометрии, математические теории игр, принятия решений, оптимального управления, сетей, Internet Mathematics ( http://www.internetmathematics.org ) и т.д., не изучают математическую социологию [5], то автор будет избегать, по возможности, математической символики и формальных определений, давая ссылки на формулировку открытых проблем. Описание открытых проблем дано на английском языке, поскольку английский язык - международный рабочий язык науки в математической теории систем.

Открытые проблемы математической теории систем

В  1999 году V. Blondel, E. Sontag, M. Vidyasagar, J. Willems [6] сформулировали 50 открытых проблем математической теории систем. К 2004 году некоторые проблемы были решены и сформулированы новые проблемы [7]. Ниже перечислены 63 открытые проблемы математической теории систем [7], которые сгруппированы по классам систем. 

LINEAR SYSTEMS

Problem 1. Stability and composition of transfer functions
Problem 2. The realization problem for Herglotz-Nevanlinna functions
Problem 3. Does any analytic contractive operator function on the polydisk have a dissipative scattering nD realization?
Problem 4. Partial disturbance decoupling with stability
Problem 5. Is Monopoli's model reference adaptive controller correct?
Problem 6. Model reduction of delay systems
Problem 7. Schur extremal problems
Problem 8. The elusive if test for time-controllability of behaviors
Problem 9. A Farkas lemma for behavioral inequalities
Problem 10. Regular feedback implementability of linear differential behaviors
Problem 11. Riccati stability
Problem 12. State and first order representations
Problem 13. Projection of state space realizations

STOCHASTIC SYSTEMS

Problem 14. On error of estimation and minimum of cost for wide band noise driven systems
Problem 15. On the stability of random matrices
Problem 16. Aspects of Fisher geometry for stochastic linear systems
Problem 17. On the convergence of normal forms for analytic control systems

NONLINEAR SYSTEMS

Problem 18. Minimum time control of the Kepler equation
Problem 19. Linearization of linearly controllable systems
Problem 20. Bases for Lie algebras and a continuous CBH formula
Problem 21. An extended gradient conjecture
Problem 22. Optimal transaction costs from a Stackelberg perspective
Problem 23. Does cheap control solve a singular nonlinear quadratic problem?
Problem 24. Delta-Sigma modulator synthesis
Problem 25. Determining of various asymptotics of solutions of nonlinear time-optimal problems via right ideals in the moment algebra
Problem 26. Dynamics of principal and minor component flows

DISCRETE EVENT, HYBRID SYSTEMS

Problem 27. L2-induced gains of switched linear systems
Problem 28. The state partitioning problem of quantized systems
Problem 29. Feedback control in flowshops
Problem 30. Decentralized control with communication between controllers

DISTRIBUTED PARAMETER SYSTEMS

Problem 31. Infinite dimensional backstepping for nonlinear parabolic PDEs
Problem 32. The dynamical Lame system with boundary control: on the structure of reachable sets
Problem 33. Null-controllability of the heat equation in unbounded domains
Problem 34. Is the conservative wave equation regular?
Problem 35. Exact controllability of the semilinear wave equation
Problem 36. Some control problems in fluid dynamics

STABILITY, STABILIZATION

Problem 37. Copositive Lyapunov functions
Problem 38. The strong stabilization problem for linear time-varying systems
Problem 39. Robustness of transient behavior
Problem 40. Lie algebras and stability of switched nonlinear systems
Problem 41. Robust stability test for interval fractional order linear systems
Problem 42. Delay-independent and delay-dependent Aizerman problem
Problem 43. Open problems in control of linear discrete multidimensional systems
Problem 44. An open problem in adaptative nonlinear control theory
Problem 45. Generalized Lyapunov theory and its omega-transformable regions
Problem 46. Smooth Lyapunov characterization of measurement to error stability

CONTROLLABILITY, OBSERVABILITY

Problem 47. Time for local controllability of a 1-D tank containing a fluid modeled by the shallow water equations
Problem 48. A Hautus test for infinite-dimensional systems
Problem 49. Three problems in the field of observability
Problem 50. Control of the KdV equation

ROBUSTNESS, ROBUST CONTROL

Problem 51. H[infinity]-norm approximation
Problem 52. Noniterative computation of optimal value in H[infinity] control
Problem 53. Determining the least upper bound on the achievable delay margin
Problem 54. Stable controller coefficient perturbation in floating point implementation

IDENTIFICATION, SIGNAL PROCESSING

Problem 55. A conjecture on Lyapunov equations and principal angles in sub-space identification
Problem 56. Stability of a nonlinear adaptive system for filtering and parameter estimation

ALGORITHMS, COMPUTATION

Problem 57. Root-clustering for multivariate polynomials and robust stability analysis
Problem 58. When is a pair of matrices stable?
Problem 59. Freeness of multiplicative matrix semigroups
Problem 60. Vector-valued quadratic forms in control theory
Problem 61. Nilpotent bases of distributions
Problem 62. What is the characteristic polynomial of a signal flow graph?
Problem 63. Open problems in randomized µ analysis

Наряду с вышеперечисленными открытыми проблемами математической теории систем,  сформулированы частные открытые проблемы в Dynamical Systems & Ergodic Theory ( http://iml.univ-mrs.fr/~kolyada/opds ), в частности, в Infinite Ergodic Theory ( http://www.math.neu.edu/~eigen/OpenProblemsInfiniteErgodicTheory.html ); Symbolic Dynamics ( http://www-users.math.umd.edu/~mmb/open ), в Multidimensional Systems [8], в Hybrid Systems [9], в Topology [10], теории графов ( http://dimacs.rutgers.edu/~hochberg/undopen/graphtheory/graphtheory.html ) и в  других классах и теориях систем. Ниже перечислены  19 открытых проблем в Dynamical Systems & Ergodic Theory ( http://iml.univ-mrs.fr/~kolyada/opds ).

Problem 1. Geometric Models of Pisot Substitutions and Non-Commutative Arithmetic
Problem 2. Ergodic Ramsey Theory
Problem 3. Dense Periodic Points in Cellular Automata
Problem 4. Non-Discrete Locally Compact Second Countable Groups
Problem 5. Martingale Convergence and Ergodic Theorems
Problem 6. Entropy, Periodic Points and Transitivity of Maps
Problem 7. Natural Spectral Isomorphisms
Problem 8. Density of Periodic Orbit Measures for Piecewise Monotonic Interval Maps
Problem 9. Polygonal Billiards: Some Open Problems
Problem 10. Is Any Kind of Mixing Possible in "ToP" N-actions?
Problem 11. Six Problems in Algebraic Dynamics
Problem 12. Problems on Billiards
Problem 13. Is entropy effectively computable?
Problem 14. Discrete logistic map
Problem 15. Does minimal action by the group of measure preserving transformations imply the existence of a uniquely ergodic transformation for a measure on a Cantor set?
Problem 16. For minimal systems does Li-Yorke sensitivity occur exactly for extensions of nontrivial weak mixing systems?
Problem 17. The Law of Series
Problem 18. Problems on billiards, flat surfaces and translation surfaces
Problem 19. Open problems in dynamics and related fields

В математической теории графов выделено около ста открытых математических проблем ( http://math.fau.edu/locke/Unsolved.htm ). В качестве примеров ниже перечислены только шесть открытых проблем Graph Theory ( http://dimacs.rutgers.edu/~hochberg/undopen/graphtheory/graphtheory.html ): Unit Distance Graphs - chromatic number; Unit Distance Graphs – girth; Barnette's Conjecture; Crossing Number of K(7,7); Vertices and Neighbors on a Cycle; Square of an Oriented Graph.

У неподготовленного читателя может сложиться ошибочное мнение, что перечисленные выше открытые проблемы математической теории систем не имеют никакого отношения к социологии, в частности, к решению социальных проблем, например, разрешению военных и межэтнических конфликтов, бедности, преступности, социальной стратификации и т.д. или к анализу эмпирических социологических данных, например, данных опросов общественного мнения. Однако это не так [5]. Например, statistical dynamic models [11] широко используются в математической теории социальных систем. Бурно развивающееся в последние годы направление Social Computing [12-13], основано на математической теории систем. В частности, теория социальных сетей, Large-Scale Web Social Networks (е-социальные взаимодействия в Интернете), системная динамика и другие теории математической теории социальных систем, в значительной мере, основаны на математической теории графов. Приведем два конкретных примера из различных разделов математической теории систем.

В 2005 году Роберт Ауманн ( http://www.ma.huji.ac.il/~raumann ) получил Нобелевскую премию по экономике за углубление понимания сути конфликта и сотрудничества путем анализа математической теории игр. В этой связи напомним, что математическая теория игр, также, как и математические теории принятия решений и оптимального управления - классические разделы математической теории систем. В частности, И.Ауманн математически исследовал «повторяющиеся игры», анализируя развитие конфликта во времени и математически строго доказал так называемую «народную теорему», согласно которой лучшего результата добиваются стратегии, которые меньше заинтересованы в выгоде «сейчас», а больше в выгоде «потом». При этом, при повторяющихся играх стороны могут воздерживаться от действий, сулящих им краткосрочную выгоду.

Другой пример. В последние годы в системной социологии [2-3,14] для анализа эмпирических данных о строении и динамике социальных систем, прогнозирования динамики социальных систем [15] и т.д.  активно и широко используют математические теории «нечетких» множеств и «нейронных» сетей, интеграция которых образует чрезвычайно эффективный инструмент для анализа и прогнозирования – «нечеткие нейронные сети» ( http://www.nd.com ) [2] . В этой связи напомним, что математические теории «нечетких» множеств и «нейронных» сетей - современные теории математической теории систем. В своей знаменитой теореме FAT («Fuzzy Approximation Theorem») Б.Коско [цит. по 14] математически строго доказал, что любая математическая система может быть аппроксимирована (приближена) системой, основанной на «нечеткой логике». Согласно доказанным теоремам Хехт-Нильсона,  Фунахаши и Мюллера-Рейнхардта [цит. по 14] любой входной и выходной вектора символов и (или) чисел можно сколь угодно точно аппроксимировать с помощью «нейронной» сети. Из доказанных теорем неопровержимо следует, что любые наборы эмпирических данных, в том числе и социологические, могут быть точно аппроксимированы с помощью «нечетких нейронных сетей». В этой связи, с сожалением отметим, что некоторые российские социологи ( http://www.ssa-rss.ru/index.php?page_id=89&section=19&alfavit=* ) до сих пор публикуют тезисы докладов с примерно следующим названием «Нейронные сети в изучении общественных явлений: возможности применения». Приведенный пример свидетельствует, с точки зрения автора, о том, что данные социологи не знакомы с вышеперечисленными доказанными математическими теоремами, что в целом, демонстрирует недостатки математического образования российских социологов, в частности, в области математической теории систем.

Заключение

Пока подавляющее число российских социологов не готовы к пониманию современных математических работ, а тем более, к доказательству сложных математических теорем, в результате чего российские социологи ограничивают свои познавательные возможности в получении плодотворного содержательного социологического знания, имеющего фундаментальное значение для теории и практических приложений.

Автор надеется, что привлечение внимания российских социологов к открытым проблемам математической теории систем стимулирует интерес российских социологов к математике и к организации соответствующего математического образования [5,16], которое бы позволило российским социологам решать фундаментальные проблемы, находящиеся на «переднем крае» науки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hinrichsen D., Pritchard A. Mathematical Systems Theory I: Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness. Berlin.: Springer, 2009.
2. Давыдов А.А. Конкурентные преимущества системной социологии. (Электронное издание). М.: ИС РАН, www   ( https://www.isras.ru/publ.html?id=855 ),  ( http://www.ecsocman.edu.ru/db/msg/324618.html )
3. Давыдов А.А. Системная социология: Введение в анализ динамики социума. М.:ЛКИ, 2007.
4. Гильберт Д. Математические проблемы. ( http://vivovoco.ibmh.msk.su/VV/PAPERS/NATURE/GILBERT_R.HTM )
5. Давыдов А.А. Математическая социология: обзор зарубежного опыта//Социол. исслед. 2008, №4, С. 105-111. (http://www.ecsocman.edu.ru/socis/msg/327114.html)
6. Blondel V.D., Sontag E.D., Vidyasagar D.M., Willems J.C. Open Problems in Mathematical Systems and Control Theory. Heidelberg.: Springer Verlag, 1999. ( http://www.inma.ucl.ac.be/%7Eblondel/books/openprobs )
7. Blondel V., Megretski A. Unsolved problems in mathematical systems and control theory.  Princeton.: Princeton University Press, 2004. ( http://press.princeton.edu/math/blondel/blondel.pdf )
8. Bose N.K. Multidimensional Systems Theory and Applications. N.Y.: Springer, 2003.
9. Lunze J., Lamnabhi-Lagarrigue F. Handbook of Hybrid Systems Control: Theory, Tools, Applications. Cambridge.: Cambridge University Press, 2009.
10. Pearl E. Open Problems in Topology II. N.Y.: Elsevier Science, 2007.
11. Bowers R.G. Statistical dynamic models of social systems: The general theory//Systems Research and Behavioral Science, 2007, Vol.23, Issue 2, P.109 - 119.
12. Давыдов А.А. Системная социология: Social Computing. М.: ИС РАН, 2009. ( https://www.isras.ru/index.php?page_id=1016 )
13. Давыдов А.А. Social Computing 2009. М.: ИС РАН, 2009. ( https://www.isras.ru/index.php?page_id=1163 )
14. Давыдов А.А. Системный подход в социологии: новые направления, теории и методы анализа социальных систем. М.: Эдиториал УРСС, 2005.
15. Давыдов А.А. Прогнозирование социальных явлений с помощью «нейронных» сетей//Социологические методы в современной социологической практике. Сборник материалов Всероссийской научной конференции памяти А.О.Крыштановского/Под ред. Ю.Н. Толстовой. М.: Издательский дом ГУ-ВШЭ, www
16. Давыдов А.А. Математическое образование социологов в США//Тезисы докладов Всероссийской социологической конференции «Образование и общество» (20-22 октября 2009 года, Москва). М.: РОС, 2009. ( http://www.ssa-rss.ru/index.php?page_id=178&section=21&alfavit=* )